一、毕达哥拉斯的平方数定理

在古希腊，数学家毕达哥拉斯被认为是第一个证明了“勾股定理”的人。这个定理简单却深刻，它指出在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边各自平方和的总和。这一发现不仅改变了人们对空间理解的方式，也为后来的几何学和工程学奠定了坚实基础。毕达哥拉斯不仅在几何上取得了重大突破，他还发展了一套基于正方形、长方形和圆形面积计算方法，这些方法至今仍然被用于建筑设计和地图绘制。

二、欧几里与《几何原本》

欧几里是古希腊最伟大的数学家之一，他创作的一部名为《元素》的著作，被誉为世界上第一部严密逻辑系统化的地面数学体系。这部作品分为13个部分，涵盖了从基本概念到高级理论的大量内容，包括点线面的定义、平行线原理以及立体几何等。《元素》不仅影响了西方科学发展，还对东方文化产生了深远影响，是西方传统哲学中的重要文献。

三、阿基米德之星

阿基米德是一位多才多艺的科学家，他发明了一种能够用来测量海洋水域宽度和深度的设备——称之为“阿基米德之星”。这种装置由许多相互连接的小船组成，当这些小船全部沉入水中时，由于它们浮力加倍，可以轻易测量较大水域。如果将其应用于战争领域，就能帮助舰队通过狭窄通道而不受阻碍。在他的其他研究中，如他关于流体动力学方面的工作，对现代航海技术也有着不可忽视的地位。

四、三维空间观察

阿基米德对三维空间观察有独特见解。他通过将物体切割成不同的平面来研究它，从而得以更好地理解物质结构。他对于光影关系也有一定的认识，对照影投射法进行艺术创作，为艺术史上的光影效果研究提供了一些启示。此外，在他的研究中还提出了一个著名问题，即如何划分空心球，以便只需移动两个半径相同且垂直于球表面的截面即可完全切割掉整个球体，而无需任何其他工具或工具切割过程，这个问题后世又成为著名的问题之一。

五、《沙漏时间计》的发明

尽管我们通常说的“沙漏”更多的是作为一种装饰品，但在历史上，它们确实起到了计时器作用。在那时候，没有电子钟或者机械钟，所以需要找到其他方法来衡量时间。而其中一种计时器就是使用不同大小颗粒填充的一个容器。当打开容器底端，一种颗粒开始流出，并逐渐堆积起来，然后再次关闭底端，另一种颗粒开始流出并堆积。一旦第二种颗粒堆积高度达到同样的一层，那么可以断言已经过去了一定的时间间隔。这样的计时器虽然准确性有限，但在当时已是非常先进的一项技术。